Правила и законы алгебры логики

Алгебра логики и логические основы компьютера Что такое алгебра логики? Алгебра логики булева алгебра — это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров память, процессор.

Дорогие читатели! Наши статьи рассказывают о типовых способах решения юридических вопросов, но каждый случай носит уникальный характер.

Если вы хотите узнать, как решить именно Вашу проблему - обращайтесь в форму онлайн-консультанта справа или звоните по телефонам, представленным на сайте. Это быстро и бесплатно!

Содержание:

Подведение итогов, домашнее задание 4 мин. Ход урока 1.

Базы данных Алгебра логики. Понятие высказывания.

Алгебра логики и логические основы компьютера

Определим, кто где живёт. Изобразим дома прямоугольниками и пронумеруем их: Известно, что скрипач живёт с краю 3. Следовательно, он может жить в доме 1 или в доме 4. Скрипач живёт рядом с врачом 4 , т. Но врач живёт левее охотника 2 , следовательно, скрипач не может жить в доме 4, т.

Таким образом, скрипач живёт в доме 1, а врач — рядом с ним, в доме 2. Так как врач живёт левее охотника 2 , а столяр — правее охотника 1 , то охотнику достается дом 3, а столяру — дом 4. Так как Семён не скрипач и не живёт рядом со скрипачом 5 , то он может жить в доме 3 или в доме 4. Так как Иван живёт рядом с охотником 6 , то он может жить в доме 2 или 4.

Так как Василий живёт правее врача 7 , то он может жить в доме 3 или 4. По условию 8 Василий живет через дом от Ивана, значит, в доме 1 может жить только Геннадий, в доме 2 — Иван, в доме 4 — Василий, в доме 3 — Семён.

Как видите, далеко не самая сложна задача потребовала достаточно серьезных рассуждений. Этот метод, как правило, применяется для решения простых задач. Задачи о рыцарях и лжецах — это такой класс логических задач, в которых фигурируют персонажи: - рыцарь — человек, всегда говорящий правду; - лжец — человек, всегда говорящий ложь; - обычный человек — человек, который в одних ситуациях может говорить правду, а в других лгать.

Решение подобных задач сводится к перебору вариантов и исключению тех из них, которые противоречат условию. Пример 2. Двое жителей острова А и В разговаривали между собой в саду. Тот ответил, но так неразборчиво, что незнакомец не смог ничего понять.

Может ли незнакомец доверять ответу В? Мог ли А сказать, что он лжец? Если А — рыцарь, то он скажет правду и сообщит, что он рыцарь. Если А — лжец, то он скроет правду и сообщит, что он рыцарь. Определить, кем является А, в данной ситуации невозможно. Табличный метод Для решения логических задач, связанных с рассмотрением нескольких конечных множеств, прибегают к помощи таблиц или графов.

От того, насколько удачно выбрана их структура, во многом зависит успешность решения задачи. Пример 3. В летнем лагере в одной палатке жили Алёша, Боря, Витя и Гриша. Все они разного возраста, учатся в разных классах с 7-го по й и занимаются в разных кружках: математическом, авиамодельном, шахматном и фотокружке.

Выяснилось, что — фотограф старше Гриши; — Алеша старше Вити, а шахматист старше Алёши; — в воскресенье Алёша с фотографом играли в теннис, а Гриша в то же время проиграл авиамоделисту в городки. Определим, кто в каком кружке занимается. Требуется определить такие значения х и у, чтобы высказывательная форма превратилась в истинное высказывание.

Составим таблицу: Рассмотрим условия 1 - 3 и сделаем выводы: Гриша — не фотограф 1 ; шахматист — не Алёша и не Витя 2 ; Алёша — не фотограф и не авиамоделист, Гриша — не фотограф и не авиамоделист 3. Отметим это в таблице: Мы можем сделать вывод, что Алёша занимается математикой, а Гриша — шахматами: Из того, что Гриша — шахматист и условий 1 и 2 можем расположить учеников по возрасту в порядке возрастания : Витя — Алёша — Гриша — фотограф.

Следовательно, Боря — фотограф. Ответ: Витя 7 класс занимается в авиамодельном кружке, Алёша 8 класс — в математическом, Гриша 9 класс — в шахматном, Боря 10 класс — в фотокружке.

Использование таблиц истинности для решения логических задач Аппарат алгебры логики позволяет применять к широкому классу логических задач универсальные методы, основанные на формализации условий задачи. Одним из таких методов является построение таблицы истинности по условию задачи и её анализ.

Для этого следует: Выделить из условия задачи элементарные простые высказывания и обозначить их буквами. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в составные с помощью логических операций. Построить таблицу истинности для полученных логических выражений. Выбрать решение — набор логических переменных элементарных высказываний , при котором значения логических выражений соответствуют условиям задачи.

Убедиться, что полученное решение удовлетворяет условиям задачи. Пример 4. Три подразделения А, В, С торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения: Если А получит максимальную прибыль, то максимальную прибыль получат В и С.

А и С получат или не получат максимальную прибыль одновременно. Необходимым условием получения максимальной прибыли подразделением С является получение максимальной прибыли подразделением В. По завершении года оказалось, что одно из трёх предположений ложно, а остальные два истинны. Выясним, какие из названных подразделений получили максимальную прибыль. Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами: Составим таблицу истинности для F1, F2, F3. Вспомним, что из трёх прогнозов F1, F2, F3 один оказался ложным, а два других — истинным.

Эта ситуация соответствует четвёртой строке таблицы. Ответ: максимальную прибыль получили подразделения В и С. Метод упрощения логических выражений Следующий формальный способ решения логических задач состоит в том, чтобы: Выделить из условия задачи элементарные простые высказывания и обозначить их буквами.

Составить единое логическое выражение, учитывающее все требования задачи. Используя законы алгебры логики, упростить полученное выражение и вычислить его значение. Выбрать решение — набор логических переменных элементарных высказываний , при котором построенное логическое выражение является истинным. Пример 5. Кто из учащихся изучал логику? Из условия задачи следует истинность высказывания:. Получившееся высказывание будет истинным только в случае, если С — истина, а А и В — ложь.

Ответ: логику изучал только третий ученик.

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Второй вариант использования этих выражений заключается в возможности избирательного обнуления определённых разрядов многоразрядного числа. При поразрядном применении операции "И" можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды единичный или нулевой потенциал. Например, требуется обнулить 6, 3 и 1 разряды. Тогда: В приведённом примере использования законов алгебры логики отчётливо видно, что для обнуления необходимых разрядов в маске нижнее число на месте соответствующих разрядов записаны нули, в остальных разрядах записаны единицы. В исходном числе верхнее число на месте 6 и 1 разрядов находятся единицы. После выполнения операции "И" на этих местах появляются нули. На месте третьего разряда в исходном числе находится ноль. В результирующем числе на этом месте тоже присутствует ноль. Остальные разряды, как и требовалось по условию задачи, не изменены. Точно так же при помощи закона одинарных элементов, одного из основных законов алгебры логики, можно записывать единицы в нужные нам разряды.

Урок Законы алгебры логики

Прежде всего, начнем с разбора названия самого предмета, а именно выясним, каково значение алгебры, логики, а затем алгебры логики. Алгебра — это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными буквами латинского алфавита — а, b, x, y и т. Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.

Законы логики

Определим, кто где живёт. Изобразим дома прямоугольниками и пронумеруем их: Известно, что скрипач живёт с краю 3. Следовательно, он может жить в доме 1 или в доме 4. Скрипач живёт рядом с врачом 4 , т. Но врач живёт левее охотника 2 , следовательно, скрипач не может жить в доме 4, т. Таким образом, скрипач живёт в доме 1, а врач — рядом с ним, в доме 2.

Вы точно человек?

Из последнего закона вытекают следующие правила. Правило 2. Последнее соотношение показывает возможность дополнения исходной формулы фиктивными членами, совокупность которых является тождественно ложной. Представление булевых функций дизъюнктивными иконъюнктивными нормальными формами Любая логическая функция может выражаться различными логическими формулами, являющимися эквивалентными. Наиболее удобными для практического использования являются нормальные формы представления сложных логических функций. Элементарной конъюнкцией Q называется логическое произведение любого конечного числа переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается только один раз. Число переменных, составляющих элементарную конъюнкцию, называется ее рангом. Элементарной дизъюнкцией D называется логическая сумма конечного числа переменных и их отрицаний, причем каждая переменная встречается в сумме один раз.

Упрощение логических формул

Из таблицы видно, что формула в некоторых случаях принимает значение 1, а в некоторых — 0, то есть является выполнимой. Как упростить логическую формулу? Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных. Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. Из этих примеров видно, что при упрощении логических формул не всегда очевидно, какой из законов алгебры логики следует применить на том или ином шаге. Навыки приходят с опытом.

Наверное, все понимают, но на всякий пожарный: и — это две разные формулы!

Учащимся очень нелегко дается эта тема, поэтому мне, как учителю, захотелось заинтересовать их в изучении законов логики, упрощении логических выражений и с интересом подойти к решению логических задач. В обычной форме давать уроки по этой теме нудно и хлопотно, да и ребятам не всегда понятны некоторые определения. Учащиеся, зарегистрировавшись в ней, могут в свое свободное время посещать этот курс и перечитывать то, что было непонятно на уроке. Некоторые учащиеся, пропустив уроки по болезни, наверстывают дома или в школе пропущенную тему и всегда готовы к следующему уроку.

В принципе, эти возможности можно использовать и в многозначной логике, деля предварительно значения на maxVal. Логические операции Аналогично парсеру арифметических выражений пишется парсер логических выражений logic. Здесь и далее можно менять поле редактирования. Повторный прасинг программы проводится после ввода точки с запятой ";" можно любую ";" удалить и тут же вернуть или добавить её после выражения. Каждый узел дерева кроме корня и листьев окружен круглыми скобками. Других преобразований не проводится. Функция parse также возвращает строку откликов команд, а в переменной err находятся описания синтаксических ошибок если они были. Печать выражений Команды программы позволяют выводить выражения в различном формате:!

Законы алгебры контактных схем Аналитическая запись структуры и условий работы релейных схем дает возможность производить аналитические равносильные преобразования схем, т. Особенно полно методы преобразования разработаны для структурных формул, выражающих контактные схемы. Для контактных схем используется математический аппарат алгебры логики, точнее — одной из наиболее простых ее разновидностей, называющейся исчислением высказываний или булевой алгеброй по фамилии математика прошлого века Дж. Исчисление высказываний первоначально разрабатывалось для исследования зависимости истинности или ложности сложных суждений от истинности или ложности составляющих их простых суждений. По существу исчисление высказываний представляет собой алгебру двух чисел, т. Этим и определяется возможность использования булевой алгебры для преобразования контактных схем, так как каждый из входящих в структурную формулу аргументов контактов может принимать всего два значения, т.

Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует. Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием. Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. Истинно либо суждение, либо его отрицание. Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Законы коммутативности и ассоциативности.

Полезное видео: Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.
Комментарии 0
Спасибо! Ваш комментарий появится после проверки.
Добавить комментарий

  1. Пока нет комментариев.